Đường thẳng trong không gian và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
1. Các tính chất thừa nhận:
+ Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
+ Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
+ Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
+ Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác.
+ Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Ba cách xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hành; qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau.
3. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng; hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
4. + Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
+ Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
5. + Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
+ Nếu một đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó trên mặt phẳng thì đường thẳng song song với mặt phẳng.
6. + Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
+ Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng cho trước thì hai mặt phẳng và song song với nhau.
+ Nếu mặt phẳng và song song thì mọi mặt phẳng cắt đều phải cắt và các giao tuyến của chúng song song.
+ Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tỉ lệ.
+ Ba đường thẳng p, q, r cùng song song với một mặt phẳng và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’, thì
Quan hệ vuông góc trong không gian
1. Mặt phẳng vuông góc
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
a) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q) thì hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau
b) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
2. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Kí hiệu
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đã cho và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Kí hiệu
4. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thằng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Kí hiệu là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Các dạng bài liên quan:
Hình học không gian
Một số bài tập
Baì 60215
Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao cho: .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
2. Tính thể tích hình chóp theo thể tích V của hình chóp .
Baì 60213
Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có .
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện .
Baì 60211
Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x,y.
2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Baì 57254
Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Baì 48367
Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Baì 48361
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và .
Baì 42367
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Baì 42361
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
Baì 41433
Trong mặt phẳng có đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại điểm A cố định . Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (O,R) ( T là tiếp điểm ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d .
Chứng minh rằng đường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH
Baì 38911
Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Trích trên http://www.onthi.com
1. Các tính chất thừa nhận:
+ Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
+ Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
+ Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
+ Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác.
+ Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Ba cách xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hành; qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau.
3. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng; hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
4. + Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
+ Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
5. + Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
+ Nếu một đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó trên mặt phẳng thì đường thẳng song song với mặt phẳng.
6. + Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
+ Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng cho trước thì hai mặt phẳng và song song với nhau.
+ Nếu mặt phẳng và song song thì mọi mặt phẳng cắt đều phải cắt và các giao tuyến của chúng song song.
+ Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tỉ lệ.
+ Ba đường thẳng p, q, r cùng song song với một mặt phẳng và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’, thì
Quan hệ vuông góc trong không gian
1. Mặt phẳng vuông góc
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
a) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q) thì hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau
b) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
2. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Kí hiệu
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đã cho và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Kí hiệu
4. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thằng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Kí hiệu là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Các dạng bài liên quan:
Hình học không gian
Một số bài tập
Baì 60215
Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao cho: .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
2. Tính thể tích hình chóp theo thể tích V của hình chóp .
Baì 60213
Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có .
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện .
Baì 60211
Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x,y.
2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Baì 57254
Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Baì 48367
Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Baì 48361
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và .
Baì 42367
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Baì 42361
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
Baì 41433
Trong mặt phẳng có đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại điểm A cố định . Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (O,R) ( T là tiếp điểm ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d .
Chứng minh rằng đường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH
Baì 38911
Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Trích trên http://www.onthi.com
)