Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

[Dark_Love94]

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Trong chương trình hình học lớp 10 và Chương I của lớp 11, ta chỉ nói đến những hình trong mặt phẳng như: tam giác, đường tròn, vectơ,… Chúng được gọi là những hình phẳng. Môn học nghiên cứu các tính chất của những hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng gọi là Hình học không gian.​

Mặt phẳng​

Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt bàn, tấm gương phẳng…cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian.​

​

​

Điểm thuộc mặt phẳng​

Ta biết rằng khi cho điểm A và đường thẳng a thì hoặc điểm A thuộc đường thẳng a, hoặc điểm A không thuộc đường thẳng a.​

Tương tự như vậy, với một điểm A và một mặt phẳng (P), cũng có hai khả năng sảy ra:​

- Hoặc điểm A thuộc mp (P), khi đó ta kí hiệu A∈mp(P) hay A∈(P).​

- Hoặc điểm A không thuộc mp (P), ta còn nói điểm A ở ngoài mp (P)và ký hiệu A∉mp(P) hay A∉(P)​

Hình biểu diễn của một hình trong không gian​

Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, người ta đưa ra những quy tắc thường được áp dụng như:​

- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng​

- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).​

- Điểm A thuộc đường thẳng a được biểu diễn bởi một điểm A’ thuộc đường thẳng a’, trong đó a’ biểu diễn cho đường thẳng a.​

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (− − −)để biểu diễn cho những đường bị khuất​

2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian​

Tính chất thừa nhận1​

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước​

Tính chất thừa nhận 2​

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước​

Tính chất thừa nhận 3​

Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng​

Tính chất thừa nhận 4​

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.​

Tính chất thừa nhận 5​

Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng​

ĐỊNH LÝ​

Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.​

CHÚ Ý​

Qua ví dụ trên, ta thấy:​

- Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P), ta tìm một đường thẳng nào đó nằm trên (P)mà cắt d. Khi đó, giao điểm của hai đường thẳng này là giao điểm cần tìm.​

- Muốn chứng minh các điểm thẳng hàng ta có thể chứng tỏ rằng chúng là những điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.​

3. Điều kiện xác định mặt phẳng​

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng​

Mặt khác, nếu đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì nằm trên mặt phẳng ấy. Từ đó và từ điều kiện xác định mặt phẳng nói trên, ta còn suy ra:​

- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó​

- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau​

Kí hiệu: ​

- Mặt phẳng đi qua đường thẳng a và điểm A không nằm trên a được kí hiệu là mp(a,A) hoặc mp(A,a)​

- Mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a,b)​